04.宇宙速度を求める

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物を放り投げて人工衛星になる速度

ドラえもんに、スーパーマンと化したのび太が野球でボールを打ったら人工衛星になっちゃったという話が出てくる。ではどのくらいの初速度でボールを打てば人工衛星になるのだろうか。

基本的に人工衛星では重力と遠心力が釣り合っているはずである。つまり

\( \frac{GMm}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r} \)

簡略化して
\( \frac{GM}{r} = v^2 \)

∴ \( v = \sqrt{ \frac{GM}{r} } \)


物凄く基本的な問題として、ボールには何の推進力も無いのだから、この一打のみで、人工衛星軌道に乗せる必要がある。つまりボールが飛んで行った方向は、既に人工衛星軌道であることになる。その場合、この方向は水平方向以外にはあり得ない。

なぜなら、もしこのボールを斜め上に打ち出したものが人工衛星軌道であったとしたら、このボールは一周したら、ここに同じ角度で戻ってこなければならないことになる。でもボールが飛んで行った方向と逆方向には地面がある!

言い換えると、もしボールを斜め上に打ち出したものが人工衛星軌道であったとしたら、反対側にその軌道延長があるはずなのに、その軌道延長が地面とぶつかっているのである。

だから、一打のみで人工衛星にするには、水平方向に打ち出す以外の方法は無いことになる。

もっとも、ドラえもんの漫画のように東京のど真ん中で、人工衛星軌道に乗せるのに水平方向に時速数万キロで打ち出したら、多数の物体にぶつかるのは確実で、大迷惑である!やるとしたら、チョモランマの頂上ででもやってもらいたい。

こういう考察をした上で、一打で人工衛星軌道(地球の表面スレスレを周回する軌道)に乗せるのに必要な初速度を計算すると、さっきの万有引力と遠心力が吊り合う式になるので、
\( v = \sqrt{ \frac{GM}{r} } \)
に r = 6.371e6 m を代入すると v = 7909 m/s (28474 km/h) ということになる。マッハ24くらいの猛スピードである。やはりドラえもんの話は無茶がすぎる。

これが『第1宇宙速度』と呼ばれているものである。

地球の引力を脱する速度

地球の引力を脱するのに必要な速度というのは、要するに地球の引力による位置エネルギーを運動エネルギーで補填できる速度ということになる。つまり
\( - \frac{GMm}{r} + \frac{1}{2} m v^2 = 0 \)
式を整理して
\( \frac{2GM}{r} = v^2 \)
∴ \( v = \sqrt{ \frac{2GM}{r} } \)
これが第2宇宙速度と呼ばれているもので、式を見たら分かるように第1宇宙速度の √2 倍になっている。

太陽の引力を脱する速度

太陽の引力を脱して、太陽系外まで行くロケットを打ち上げるには、第2宇宙速度の計算で地球半径を地球の公転軌道半径に、地球の質量を太陽の質量に置き換えればいいです。つまり
\( v_s = \sqrt{ \frac{2G M_s}{R} } \)
「第3宇宙速度」と呼ばれているものは、地球の表面から打ち上げて、太陽の引力を脱するのに必要な速度です。これを求めてみましょう。 まず上記のvsから、自転の速度を引く必要があります。自転の方向に打ち上げればいいですからね。自転の速度は最初にやった人工衛星の速度と同じ計算ですから、こうなります。
\( v_e = \sqrt{ \frac{G M_s}{R} } \)
すると両者の相対速度は V = vs - ve になります。この速度を持てるように打ち上げればよい。

今求める速度を v とする場合、地球に対する位置エネルギーを差し引いてこの速度を得ることができればいいから、
\( \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GM_e m}{r} = \frac{1}{2} m V^2 \)
∴ \( \frac{1}{2} v^2 = \frac{GM_e}{r} = \frac{1}{2} V^2 \)
∴ \( v^2 = \frac{2GM_e}{r} + V^2 \)
∴ \( v^2 = \frac{2GM_e}{r} + (v_s - v_e )^2 \)
∴ \( v = \sqrt{ \frac{2GM_e}{r} + (\sqrt{ \frac{2G M_s}{R} } - \sqrt{ \frac{G M_s}{R} } )^2 } \)
ここで、
G = 6.67430e-11
Ms = 1.9891e30 (kg)
Me = 5.972E24 (kg)
R = 1.5e11 (m)
r = 6.371e6 (m)
を代入すると
v3=16642 m/s (59913 km/h)
ということになる。


(2021-08-17)
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